En el desarrollo de socialización de la propuesta, se pretende hacer énfasis en la forma como los estudiantes y/o maestros se pueden apropiar de los saberes matemáticos, partiendo de la proyección y diseño de los posibles instrumentos, o actividades o el desarrollo de la metodología, los cuales sean unos u otros que se privilegien. Por parte del maestr@, este debe buscar que la enseñanza no sea hegemónica, permitiendo la participación, la autorregulación, la cooperación y la comprensión de los saberes matemáticos escolares y saberes matemáticos comunes que circulan en el aula.
La escuela como una institución social, es impactada de alguna manera por las representaciones sociales de sus actores, entre ellas, las de l@s maestr@s que en forma general, tratan de hacer más notorio, la inclinación por la proyección de instrumentos didácticos o por la estructuración de una metodología apropiada o también por el diseño y desarrollo de actividades que puedan abarcar las intenciones del maestr@.
76Podemos entender las anteriores posturas como propias de la “cultura escolar” tal como lo define Entel (1988:9) que plantea “es la trama de discursos, acciones, políticas, hábitos, tanto pertenecientes a la práctica escolar cotidiana como a la normativa escolar, reglamentos, decretos, disposiciones, etc. que permiten entonces rastrear y mirar las concepciones que tienen l@s maestr@s en lo referente a su práctica en el salón de clases y en forma partiendo sobre el saber matemático para lo cual, se establecen unos “campos” que permiten identificar las tendencias y formas como l@s maestr@s, tanto como actor individual y parte integral de un colectivo social (escucha) hacen desde su especificidad y concepciones sobre su práctica, como los elementos esenciales que le sirven para fundamentar, accionar y evaluar sus prácticas desde contextos sociales específicos (aula-matemáticas) a resignificaciones de representaciones más generales (las matemáticas en lo escolar y no escolar).
Es claro que los estudiantes, también tipifican a l@s maestr@s, a sus acciones, sus disposiciones y toman posiciones que de alguna manera ayudan a configurar la interacción en el aula. De todas formas, es importante tomar las ubicaciones que toman l@s maestr@s con relación a su práctica, ya que el maestro se constituye en un actor legitimado y autorizado de la práctica escolar y por tanto, tienen más fuerza sus actos de nombramiento - distinción para estructurar esa práctica y anticipar los resultados”[1]. Es importante establecer que la determinación de las prácticas del maestro, las reconozco en una forma más explicita, ya que este es un actor legitimado por el poder en el aula que hace que sea considerada
Su práctica como una responsabilidad ética en su interacción en el aula.
Es importante determinar que la propuesta metodológica que se plantea, de alguna forma es un aporte a la educación, ya que ésta es una actividad que permite y ayuda al acceso de los estudiantes dentro de los patrones sociales posibles y existentes. Desde luego, los pilares básicos de la propuesta metodológica pretenden de alguna manera atenuar y flexibilizar las tensiones, las asimetrías y las dificultades que se generan en la diversidad del aula, partiendo de una singularidad sustentada en lo intuitivo, lo inductivo, lo deductivo, lo global y lo general, permitiendo valorar conjeturas que nos lleven a la validación de hipótesis que configuren unos posibles constructos o conceptos.
Es una propuesta que se contrapone pero no se opone a la escucha academicista, pero de alguna manera me llama la atención lo que se escribe “Hay, pues, ciertas cosas que deben ser modificadas en la instrucción tal y como se desarrolla hoy día. Las instituciones y las costumbres han cambiando, las ciencias han progresado a pasos agigantados, solo el fondo de la enseñanza no ha cambiado; tal y como era hace un siglo, así nos lo encontramos hoy en día. Hay que terminar de una vez por todas con esta instrucción de catálogo que lo toca todo y no profundiza nada, con esta educación enciclopédica que sobrecarga la memoria sin desarrollar el pensamiento y que no deja tras ella sino una fatiga a menudo irreparable y una aversión casi insuperable por el trabajo intelectual”. (Gustavo Le Bon 1874)[2].
Lo anterior permite evidenciar que las propuestas de cambio se han planificado, lo cual hace que se evidencie las dificultades y los obstáculos que no permiten el avance y desarrollo de la educación al ritmo del desarrollo y transformación de la ciencia, evidenciándose en la enseñanza de la matemática, la cual no escapa a estas dificultades, quizá sea uno de los campos de la ciencia en el que se libra con más y mejores argumentos, ya que parece ser que las evidencias de fracaso escolar en matemáticas son más visibles.
Referente a la situación planteada, la propuesta busca por medio de la actividad de resolución de problemas mejorar la enseñanza y potenciar el aprendizaje, pero sin partir de la ejercitación en la resolución de problemas, es decir repitiendo y haciendo repetir, sino por el contrario, el estudiante con la propuesta desarrolla estrategias que intersectadas con los instrumentos, configuran actividades que le ayudan a reflexionar sobre ellos, permitiéndole una acción permanente y sostenida sobre los objetos de aprendizaje.
Podría retomar a Polya (1945) que para resolver problemas se requiere: comprender el problema, luego concebir un plan para abordarlo, a continuación ejecutar el plan y finalmente examinar la solución obtenida en lo que tiene que ver con los procedimientos y la posible respuesta. Esta metodología indica que no hay una metodología específica para la resolución de problemas, sino que se requiere de acercarnos a la comprensión de este, de tal forma que se pueda aproximar el lenguaje cotidiano y lenguaje simbólico de la matemática, por medio de una comprensión, que permita evidenciar incógnitas, evidenciar condiciones, establecer relaciones entre las proposiciones que componen el cuerpo del problema, las condiciones posiblemente ocultas, es decir que el estudiante pueda tomar decisiones sobre lo que se trata, en el sentido de abordar un problema para demostrar o un problema por encontrar.
Se podría plantear que en la propuesta se trata de acuñar una versión ampliada de los griegos sobre el método de análisis-sintético, teniendo como el primero (análisis) el método que va de la incógnita a los datos, en tanto que lo sintético es el camino que va en dirección contraria de los datos a la incógnita según Lakatos (1981)[3] la caracterización del método analítico-sintético se encuentra en los Elementos de Euclides Libro XIII. Lakatos presenta la versión de Pappus (Siglo IV) “el análisis pues, considera aquello que se busca como si fuera algo aceptado y pasa desde ello, a través de sus consecuencias sucesivas, a algo que es aceptado como resultado de la síntesis, pues en el análisis damos por supuesto aquello que se busca como si (ya) estuviera dado, e inquirimos que es aquello de lo cual resulta esto y a su vez cuál es la causa antecedente de lo posterior, y así sucesivamente, hasta que, volviendo así sobre nuestros pasos, llegamos a algo ya conocido o que pertenezca a la clase de los primeros principios y a un tal método lo llamamos análisis por ser un método hacia atrás.
Pero en la síntesis, invirtiendo el proceso, tomamos como ya dado aquella a lo que llegamos en último término en el análisis y, alineando en su orden natural como consecuencias lo que antes eran antecedentes, y conectándolos unos con otros sucesivamente, llegamos finalmente a la construcción de lo que se buscaba y a esto lo llamamos síntesis.
PROPÓSITOS DE LA APUESTA.
Con la intersección de las estrategias que se plantean, las cuales configuran un proceso analítico-sintético … hipotético-deductivo, que de alguna manera con los propósitos de la propuesta, se consolida la intención de la formación del pensamiento matemático, que aquí específicamente generaría la potenciación de las capacidades de los estudiantes, de tal forma que permita la formación de competencias, que a su vez los lleve a la elaboración y formulación de preguntas, conjeturas e hipótesis, buscando la interpretación de los saberes que circulan en el aula, de tal forma que le encuentre significado y sentido (pertinencia y pertenencia) a un texto, el cual construye con la intersección de saberes, concepciones y creencias que se dan en los libros, en sus pares y en su contexto, poder elaborar proposiciones, las cuales se construyen con sus saberes pero teniendo una cierta rigurosidad en el saber matemático y en la estructura sintáctica y semántica, plantear situaciones que se pueden estructurar como problemas en el contexto del paisaje, pero permitiendo que cada cual lo formule y lo aborde de acuerdo a sus expectativas y a sus propios intereses, intersectar su saber con su hacer en un gráfico (paisaje-plano cartesiano) que le permita ubicar los conocimientos científicos (fundamentación teórica – matemática – ensayo) con su interacción en el paisaje, generando estructuras o esquemas que ayudan a la comprensión del objeto de estudio. Cuando se plantea un esquema o en otros casos una proposición se induce al estudiante para que de la razón de la afirmación y/o falsedad, explicando los porqué, permitiendo la organización y establecimiento de relaciones causales.
En el desarrollo de las competencias en matemáticas se busca que los conceptos que se estudiaron en la fundamentación teórica (ensayos) se pueden cohesionar y relacionar con sus propias concepciones generando un saber, que a su vez se puede conectar en el contexto (paisaje) o desde éste hacia posibles generalizaciones. Desde un proceso riguroso se pretende que el estudiante de forma singular, argumente como se ha instalado el saber propuesto en la unidad temática o didáctica, como lo aplica (su hacer) y que fundamentación valorativa le asigna para su proyecto de vida (ser) permitiendo al final sacar unas conclusiones que sustentan lo aprehendido y comprendido en la unidad temática.
Los estudiantes en su interacción con los pilares de la propuesta (dibujo – relatoría – maqueta – diario), los intersectan, por medio de conjeturas y preguntas que se consolidan con la ayuda de la teoría, en hipótesis que les permiten encontrar y demostrar problemas, también se evidencia en la contraposición y confrontación de formas de ver las situaciones que se generan en el trabajo académico, esto ha ayudado a la afinación de la construcción de textos (ensayos), permitiendo la construcción de mundos posibles por un lado y el establecimiento de regularidades y generalizaciones propias del saber matemático por otro lado.
Es importante resaltar que la propuesta, promueve a todos los niveles el trabajo cooperativo, que permita entre muchas cosas, el “Encuentro de mentes”, en la cual unos y otros, pueden tener diferentes opiniones o diferentes formas de representar el mundo, para lo cual soy reiterativo al plantear que un eje central de la propuesta es el “argumentar” como una estrategia discursiva que busca cambiar la opinión del otro o validar su planteamiento.
Con estos propósitos se busca encontrar las causas, (por qué?) de las fobias y desinterés de los estudiantes, por la apropiación del saber matemático y de los posibles (para qué) o proyección de los saberes (prospección y consecución) que genera, el tener en cuenta tres aspectos fundamentales que son centrales en la propuesta dentro de la naturaleza o concepción natural del objeto de estudio, es así que el saber matemático lo considera como el camino para la construcción de sentido y significado de los saberes que circulan en el ámbito escolar, el lenguaje que se puede considerar como la herramienta o instrumento que le permite a los actores en el aula la producción de mundos simbólicos y la evaluación no como un instrumento de represión y de pedir resultados, sino como la herramienta que sirve para cerrar y abrir círculos y como instrumento que permite la reconstrucción del camino.
¿CÓMO SE GENERA EL QUÉ, NATURALEZA DEL OBJETO Y LOS POSIBLES CONTENIDOS?.
Es importante tener en cuenta que los posibles contenidos, puedan pasar a un segundo plano, en cuanto la propuesta a partir de los propósitos expuestos busca la potenciación de las capacidades de los estudiantes, buscando ubicarlo en la posibilidad de ejercer unas competencias que le ayuden en forma estratégica tener una posibilidad del desarrollo suyo y del entorno, para lo cual se requiere plantear una serie de estrategias que sean amplias flexibles, cambiantes, de tal forma que se puedan adaptar mas no adoptar al desarrollo de unas temáticas, se podría pensar que es necesario tener en cuenta.
“EL MUNDO DE LA MATEMATICA EN EL CONTEXTO DE LA NATURALEZA”
NIVEL I “Mis mundos los interpreto con las matemáticas”
Filosofía: se pretende la búsqueda de un espacio democrático y participativo en la escuela tratando de valorar las concepciones e ideas alternativas de l@s niñ@s. El principio básico es potenciar el trabajo cooperativo y participativo de l@s niñ@s, buscando aprendizajes desde la interacción, la cooperación, la mediación, la comunicación y la negociación de significados matemáticos.
Historia: se busca hacer un recorrido de la génesis e historia teniendo presente que la validación histórica y el proceso de producción del saber matemático. Es importante que el saber matemático en el nivel I de formación (Pre-escolar) se fundamente con historietas que evidencien la historia de las prematemáticas.
Espacio: se debe partir que los objetos matemáticos, en el Nivel I son complejos , que lo “simple y sencillo” se puedan dar en la mirada “Ingenua y elemental” del maestro. Es importante que el dibujo pueda reflejar las múltiples miradas espaciales de l@s niñ@s, partiendo, que este espacio no es solo físico sino cultural, social y con un componente universal.
Creatividad: El dibujo, los grafos, el construir elementos del dibujo con plastilina, permitirán que l@s niñ@s puedan proyector su creatividad e imaginación, desde espacios y objetos creados por ellos, que con la mediación del maestro, permitirán evidenciar la complejidad de éstos.
Ciencias Naturales: El entorno natural y social del niñ@ , son fundamentales para su aprendizaje, para lo cual se requiere un sistema de referencia, que es el propio matemático y una referencia contextual que podrá ser el espacio del dibujo (paisaje) articulado con el contexto histórico.
Experimentación: Parece extraño en las matemáticas, pero si se parte del campo de la geometría, se puede evidenciar:Conjeturas, hipótesis, observaciones, contrastaciones, completaciones, constataciones, generar sentencias matemáticas que permitirán intersectar el sistema de referencia (matemáticas) y la referencia contextual (paisaje)
Comunicación: Con procesos de interacción de los niños con la maestra, se busca organizar un relato, que escrito por la maestra desde los sentires del niñ@ podrá evidenciar ,como l@s niñ@s construyen sus concepciones desde su propia interpretación socio-cultural del contexto, requiriéndose del maestr@ proyectar estrategias de comunicación, que permitan cambiar el significado y sentido de estas concepciones.
EL MUNDO DE LA MATEMATICA EN EL CONTEXTO DE LA NATURALEZA
NIVEL I.
Enfoque de Integración a la propuesta
“Mis mundos los interpreto con las matemáticas”
En el diseño curricular para este nivel desde la concepción filosófica de la propuesta se pretende: La búsqueda de espacios democráticos y participativos en el aula de clases, se plantea la necesidad de formular, proyectar y desarrollar actividades en las cuales l@s niñ@s puedan compartir desde la diferencias de cada cual, teniendo el derecho y deber de aprender unos de otros, utilizando una adecuada flexibilización de lo propuesto y formulado, matizar, transformar y modificar las situaciones didácticas con fundamentos teóricos, lograr diferencias en las acciones y trabajos de tal forma que consulten, por un lado los intereses grupales (equipos) y por otro lado la construcción individual, permitiendo la interacción, la negociación de saberes pero sobre todo de significados, que direccionen los sentidos de éstos, promoviendo la pertenencia, identidad y elevando a todo momento la autoestima de l@s niñ@s.
En el Nivel I se debe validar o iniciar al niño en la construcción de “un saber matemático con significación”, cuando se implementan actividades que tengan relación con la génesis o historia, por medio de historietas que motiven al niñ@ a pensar y comprender que las matemáticas tendrán un significado por sus dificultades, desarrollo y avances en diferentes contextos históricos.
Es importante que se tengan en cuenta que así como el “homo ludens,es relevante ubicar las actividades desde esta perspectiva, es decir, que sean lúdicas y que permitan una participación permanente con l@s niñ@s.
Al determinar espacios y tiempos en el proceso histórico, la propuesta busca que el dibujo sea un instrumento mediador en el aprendizaje del niño, permitiendo la relación y comprensión de los espacios en el paisaje, como referencia contextual y las ubicaciones desde lo matemático como sistema de referencia.
El mismo dibujo (referencia – contextual – sistema de referencia) permite de alguna manera despertar la creatividad y la imaginación de l@s niñ@s, cuando estos tratan de colocar en equilibrio un concepto dentro de un cuadrante o cuando se arriesgan a desestabilizar dicho concepto, ubicándose en la frontera o límites del cuadrante. Es también posible, que l@s niñ@s puedan experimentar teniendo el dibujo y la maqueta (en plastilina), como herramientas mediadoras que permiten la interacción permanente, de éstos buscando significados y sentidos desde estas posibilidades.
Grafos con significado: Elaboración de oración (oralmente)
· Considerar el significado (oralmente)
· Elaborar historietas a partir de la lectura de la maestra (dibujo con significados)
· Reconocimiento de relatos a partir de imágenes (ideogramas)
· Elaboración de relatos orales teniendo como referente y trasfondo el dibujo y/o la maqueta (plastilina)
· Elaboración de ideogramas en los cuadrantes del dibujo, los cuales se leen en el sentido lógico de la matemática y el sentido lógico de una historieta.
· Proyección de dibujos en el plano con sentido de perspectiva.
· Proyección oblicua vertical (explicación oral).
· Proyección ortogonal de l@s niñ@s.
· Dibujo de líneas en diferentes posiciones en relación con el sistema de referencia (el plano cartesiano) Descripción oral de l@s niñ@s.
· Explicación de las líneas y puntos con relación a la referencia contextual (dibujo de un paisaje).
· Elaboración de dibujos por parte de l@s niñ@s.
· Búsqueda del maestro sobre la relación del dibujo con lo que dice el niño que es. (Relación del dibujo y las formas)
· Relación con el sistema de referencia (plano) y con la referencia contextual (el dibujo del paisaje).
· Elaboración de dibujos analizando
1. Proximidad
2. Separación
3. Orden
4. Inclusión
5. Continuidad y discontinuidad
· Realismo individual
· Realismo visual – manejo inicial de perspectivas en el dibujo del paisajes –relacionar con el SISTEMA DE REFERENCIA (Plano) y la REFERNCIA CONTEXTUAL (Paisaje)
· Construcción espacial del objeto que se dibuja
· Las perspectiva en el niño
· Análisis de dibujos no figurativos
· La topología
· La estructura
· La biodimensionalidad y la tridimensionalidad en el niño (dibujo maqueta) (plastilina)
Ciencia con paciencia
· Clasificación de seres vivos
· Clasificación espontánea
· Dimensión de forma, material o color
· Desplazamiento en clasificación por dimensiones
· Causalidad – partes y el todo de un dibujo, animismo – artificialismo – finalismo
· Semejanza mágica – transductismo
· Intersección entre las leyes física y las leyes sociales
· Diferencia de seres vivos y no vivos
Matemáticas:
· Lo esencia en lo existencial
· Relación biunívoca de los elementos del dibujo (paisaje)
Clasificación
Observando y clasificando
Seriación
· Concepto de número (ordinal – cardinal)
· Concepto de ordinal (en relación con el dibujo)
· (Sistema de referencia ↔ referencia contextual)
· Selección y ordenación de elementos en el dibujo utilizando el orden por la izquierda (sistema de referencia) o el orden por la derecha (referencia contextual)
· Sistema numérico (bloques Dinnes)
· Sistema decimal – sistema base cinco
· Sistema base dos
· Formas para contar
Lo natural del número y su interpretación
Concepto de número
· Plantear puntos en el dibujo
· Determinar lo absoluto y lo relativo de los números
· Nociones en la construcción del número
· Conservación de cantidad
· Correspondencia biunívoca
· La clasificación
· La seriación
· La inclusión de la parte en el todo
· La reversibilidad
· Aplicación de estos conceptos desde el sistema de referencia (plano cartesiano y la referencia contextual (paisaje)
· Planteamiento de características de los números naturales desde el sistema de referencia (PLANO CARTESIANO)
· Interpretación y aplicación del sistema decimal desde sistema de referencia (Plano cartesiano)
· Construcción de operaciones desde el sistema referencia (Plano cartesiano) y en intersección con el referente contextual (Paisaje)
· Reflexión sobre el trabajo y la acción matemática en el primer cuadrante (sistema de referencia) relación biounívoca como herramienta para restar la diferencia como concepto de complemento.
· La diferencia utilizando el concepto de inclusión.
· Concepto de producto desde el sistema de referencia (plano cartesiano) – contextualizar desde el referente contextual (paisaje)
· El producto, su concepto y la fundamentación teórica.
· Propiedades del producto a partir de situaciones problemáticas.
· La división o cociente, elaboración del concepto y fundamentación matemática.
· Propiedades del cociente desde situaciones problemáticas, utilizando el sistema de referencia y la referencia contextual.
NIVEL II
Me entero de mi mundo desde las matemáticas
· Interpretación del sistema de referencia en cada uno de los cuadrantes.
· Ubicación de los números positivos y negativos en el sistema de referencia (Interpretación) y ubicación del referente contextual.
· Elaboración de relatos (cuentos) por escrito relacionando las partes y el todo del paisaje (sistema de referencia (interpretación) y ubicación del referente contextual.
· Elaboración de relatos (cuentos) por escrito relacionando las partes y el todo del paisaje (sistema de referencia).
· Elaboración de figuras geométricas en el dibujo (paisaje) dando significado (sistema de referencia) y con sentido (referencia contextual).
· Graficación de puntos en el dibujo (referencia contextual) y luego escribir un relato de la acción matemática (sistema de referencia)
· Planteando en un relato puntos para graficar (sistema de referencia) ubicarlos, en el dibujo (sistema de referencias) y planificar la acción matemática.
· Con las figuras geométricas en los diferentes cuadrantes, plantear situaciones problémicas que determinan perímetros y áreas.
· Relación de perímetros y áreas establecidas en el contexto del paisaje.
· Determinación de vértices, diagonales, puntos medios.
· La bidimensionalidad y la tridimensionalidad en cada uno de los cuadrantes (sistema de referencia).
Ciencia y existencia
· Dimensiones y formas de las figuras construidas.
· Selección y clasificación de los elementos del paisaje.
· Relación de los elementos según sus características generales y específicos.
· Selección de elementos específicos del paisaje y determinación de sus partes y su relación con el todo (elemento).
Números y magnitud
¿Saber cercano o lejano?
· Concepto de número entero y su relación con la longitud (Perímetros)
· Concepto del número entero y su relación con el área (triángulos – cuadriláteros, polígonos)
· Proporcionalidad en relación con las partes del sistema de referencia (plano cartesiano)
· Proporcionalidad en relación con las partes de la referencia contextual (paisaje).
· Estrategias para el razonamiento proporcional.
· Diferencias y semejanzas entre lo discreto (aritmético) y lo continuo (geométrico)
· Mapas de magnitudes en el plano.
· Representaciones.
· Determinación de áreas en el contexto del dibujo a partir de la intuición.
· Determinación de perímetros y áreas utilizando la intuición y la formalización.
· Aplicación de operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) a partir de situaciones problema (análisis – interpretación y aplicación)
La historia: Hilo conductor
Del saber matemático
Historia y conceptos de:
Euclides (postulados)
Pitágoras (teorema)
Tales de Mileto (Teorema)
René Descartes (Duda metódica)
Se relaciona los conceptos y teorías de los matemáticas anteriores, teniendo la precisión de relacionar en la proyección del saber matemático, la intersección entre el procesos histórico y la proyección filosófica, que permita la construcción del significado en el estudiante en la relación con la historia y en la correlación con el hecho histórico, permitiendo el desarrollo y apropiación del saber matemático en una forma discontinua, determinando la posibilidad de franquear la barrera entre lo concreto y lo abstracto y además conocer los conceptos filosóficos, que subyacen en los conceptos matemáticos que permiten darle sentido y orientación a dicho saber.
NIVEL III – LA CONCRESION RACIONAL DEL MUNDO DESDE LA VISION MATEMÁTICA
· Interpretación del sistema de referencia en cada uno de los cuadrantes y en todos los cuadrantes en relación con la REFERENCIA CONTEXTUAL (PAISAJE).
Lo concreto desde la concreción nos permite aproximarnos a la imaginación.
· Comprensión conceptual de operatividad (acción) adicionar (acción) a partir de: unir las partes y el todo viceversa.
Añadir o adjuntar (acción)
Comparar (acción)
Sustraer para complementar
Sustraer para orientar (vectorial)
Sustracción – superar o quitar del todo
Separar (acción)
Comparar para diferenciar (como acciones)
Unir para extrapolar
Multiplicar (acción)
· Como factor multiplicador
· Adicionar en forma iterada
· Razón
· Producto cartesiano
· Dividir (acción)
· Repartir (acción)
· Agrupar (acción)
· Relacionar – compartir
En el contexto del paisaje (referencia contextual) se toma una de las partes, por ejemplo los “ejes” del sistema de referencia (Plano cartesiano), permitiendo utilizarlos como “RECTA NUMERICA”; en este contexto se puede avanzar en los números naturales y los números enteros, estableciendo la relación e interrelación de las operaciones básicas y a su vez la relación e interrelación contextual y referencial de los elementos del paisaje (referencia contextual) y los “ejes” con los cuadrantes (sistema de referencia)
Para abordar los racionales se requiere relacionar e interactuar con los números fraccionarios que se plantean tomando los partes y el todo desde REFERENTES que se relativizan de acuerdo a la transposición didáctica del maestro.
· Tomar o rayar algunos cuadros de la cuadrícula y relacionar con el todo (cuadrante)
· Tomar o rayar algunos cuadro de la cuadrícula tomando los cuadrantes I y II y relacionarlos con el TODO (NORTE DEL PAISAJE – Cuadrantes I y II).
· Tomar o rayar algunos cuadros de la cuadrícula tomando los cuadrantes III y IV y relacionarlos con el TODO (SUR DEL PAISAJE – cuadrantes III y IV).
· Tomar o rayar algunos cuadros de la cuadrícula tomando los cuadrantes I y IV).
· Tomar o rayar algunos cuadros de la cuadrícula tomando los cuadrantes II y III y relacionarlos con el TODO (Occidente del paisaje – Cuadrantes II y III)
· Se puede tomar cuadros en todos y cada uno de los cuadrantes y relacionarlos con todo el paisaje.
Lo anterior permite relacionar e interrelacionar las partes y el todo y a su vez comprender que la estructuración de un concepto se da en la relación e interrelación del todo con las partes y viceversa.
NIVEL III – LA CONCRECION RACIONAL DEL MUNDO DESDE LA VISION MATEMÁTICA
· Elaboración del concepto y fundamentación matemática relacionada con la adición a partir del sistema de referencia.
· Elaboración del concepto y fundamentación matemática relacionada con la sustracción. (utilizando el sistema de referencia)
· Elaboración del concepto y fundamentación matemática relacionada con la multiplicación. (Utilizando el sistema de referencia).
· Elaboración del concepto y fundamentación matemática relacionada con la división. (Utilizando el sistema de referencia).
· Propuesta de situaciones problémicas relacionadas e interpretadas desde las operaciones básicas.
· Planteamiento de posibles soluciones a las situaciones problémicas, valorando y validando los conceptos y las concepciones que se generan en la interacción de la clase por un lado y las ideas estructuradas en otros contextos.
Nota: en los procedimientos anteriores se plantea la situación problémica, esta se relaciona con la REFERENCIA CONTEXTUAL (Paisaje y sus elementos) y el sistema de de referencia (Plano Cartesiano), permitiendo generar una serie de opciones posibles de solución, permitiendo una secuencia intersectal entre la referencia contextual (Paisajes) – sistema de referencia (plano cartesiano) – la relatoría (como narración en tiempo real de los procedimientos) - unidad temática (como organización y estructuración de los procedimientos matemáticos – escriturales –interpretativos – analíticos y creativos.
NIVEL IV – LA IMAGINACIÓN DEL MUNDO DESDE EL ENFOQUE MATEMÁTICO
· Elaboración de figuras geométricas en el contexto del paisaje (referencia contextual) relacionándolo con el sistema de referencia (Plano Cartesiano)
· Identificación de los lados por medio de ecuaciones lineales.
· Utilizando las ecuaciones anteriores, determinar la expresión algebraica que podría representar el PERIMETRO de estas figuras (triángulo – rectángulo – cuadrado – pentágono).
· Desde las ecuaciones planteadas establecer la expresión algebraica que representaría el ÁREA de las figuras planteadas (triángulo, rectángulo, cuadrado, etc.)
· Identificar y plantear productos notables desde el sistema de referencia. Hacer la interpretación geométrica.
· Plantear los relatos, descripciones, análisis e interpretaciones de los procedimientos anteriores (proceso escritural en la relatoría).
· Comparar los procesos numéricos y relacionados con los procesos variacionales entre el concepto de perímetro y área y determinar diferencias y aproximaciones desde relaciones.
· Descomposición en factores de las ecuaciones obtenidas en el desarrollo de perímetros y áreas – analizando e interpretando esta situación.
· Relación de objetos del paisaje con objetos o cuerpos geométricos.
· Acercamiento al concepto de volumen o salida.
· Contrastación desde las situaciones planteadas en el dibujo (Referencia contextual) – relacionadas con el plano cartesiano (Sistema de Referencia) y descripción de estas situaciones (Relatoría)
· Elaboración de un cuadro comparativo. Figura – sólido
· Determinación de perímetros – áreas, volúmenes – áreas laterales, etc.
Producto cartesiano con situaciones que relacionan dibujo - relatoría, diario – (Interacción – escritura y valoración)
· Determinación de ecuaciones cuadráticas a partir de objetos observados en el sistema de referencia.
· Analizar e interpretar desde los elementos de estas ecuaciones. (Relacionar las partes y el todo de la ecuación).
· Simulación de situaciones en la referencia contextual (paisaje) que permitan referenciar datos para:
-Agruparlos
-Determinación de frecuencia
-Determinación de términos representativos (marcos de clase)
· Análisis e interpretación de un cuadro estadístico y/o de frecuencia.
· De acuerdo a las figuras construidas en el dibujo (Referencia contextual – sistema de referencia) se requiere que el estudiante visualice, analice, clasifique, deduzca y plantee con rigor lo anterior.
· Relación de las figuras de acuerdo a su clasificación y estructuración.
· Planteamientos, análisis y posibles soluciones o problemas relacionados y ubicados en el contexto del dibujo (REFERENCIA CONTEXTUAL – SISTEMA DE REFERENCIA).
· Interpretación y análisis desde lo bidimensional a lo tridimensional.
NIVEL V – LA MOVILIDAD DEL SABER MATEMATICO EN EL MUNDO ESCOLAR
· Determinación y relación del concepto de pendiente en diferentes elementos del dibujo (referencia contextual).
· Determinación de longitudes, alturas y desplazamientos en el contexto del paisaje desde la relación del Teorema de Pitágoras.
· Relación de los conceptos anteriores con la forma de producción de dichos conceptos.
· Identificación de rectas de forma independiente o en la estructura de una figura geométrica por medio de ecuaciones.
· Comparar el concepto trigonométrico en la determinación de la pendiente (tangente) y el concepto geométrico (ecuación pendiente).
· Formación de sistemas de ecuaciones (elaborar variaciones combinaciones a partir de las elaboradas en otras unidades)
· Soluciones posibles a los sistemas y sus interpretaciones (Interacción en el dibujo (constatación) y descripción (en la relatoría).
· Interpretación de la pendiente y el intersecto de una ecuación lineal en el contexto del dibujo (referencia contextual – sistema de referencia).
· Análisis, conceptualización e interpretación de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes (Sistema de referencia).
· Determinación analítica en el contexto del dibujo (Referencia contextual) del valor de las funciones en los ángulos básicos (30º - 60º - y 45º) y su interpretación y relación con otros conceptos trigonométricos.
· Determinación analítica en el contexto del dibujo (referencia contextual) del valor de las funciones trigonométricas en los ángulos cuadrantales.
· Simulación y planteamiento de situaciones problémicas que permitan la aplicación del Teorema del seno y/o el coseno. (Relación del sistema de referencia – referencia contextual) y la relatoría (planteamiento, análisis, argumentación y descripción de los procesos).
· Análisis de la bidimensionalidad y paso a la tridimensionalidad.
· Comparación del espacio R2 y el espacio R3.
· Determinación de ecuaciones lineales a partir de figuras como triángulos y cuadriláteros)
· Análisis, argumentación y relación con la teoría y el gráfico (dibujo-relatoría, maqueta).
· Determinación de ecuaciones lineales a partir de ternas (espacio vectorial R3), análisis – argumentación y relación con la teoría y el gráfico (dibujo – relatoría – maqueta).
· Conceptualización y aplicación de conceptos como componente – producto escalar – producto cruz y su relación con las rectas, paralelos y rectas perpendiculares.
· Análisis e interpretación de procesos anteriores relacionados con el dibujo (referencia contextual) y la teoría.
· Génesis y formación del concepto de serie.
· Relación pitagórica del concepto a partir de Gauss.
· Generalización de la fórmula, aplicación y extrapolación en diferentes situaciones.
· Génesis del concepto de sucesión – contextualización de la sucesión de Fibonacci en la naturaleza.
· Interpretación de la sucesión Fibonacci en la sección aurea.
· Concepto pitagórico de la sección Aurea (Referencia contextual – sistema de referencia – relatoría – diario)
· Concepto de vecindad – aproximación al concepto de límite (interpretación en el referente contextual) análisis e interpretación (registros en la relatoría).
· Concepto de límite – aproximación al concepto de infinito.
· Relación y diferencia del infinito potencial y el infinito actual.
· Aproximación al concepto de de derivada, utilizando los conceptos de vecindad, límite, incremento relativo.
· Analisis, argumentación e interpretación desde el sistema de referencia(Plano cartesiano) y la relación con la teoría.
· Sentido y significado del concepto de derivada.
· Aplicación, relación y transferencia del concepto de derivada a partir de situaciones problémicas.
· Iniciación al concepto de integral.
· Interpretación de la reversibilidad de los conceptos derivar – integrar.
· Análisis.
EL MUNDO DE LA MATEMATICA EN EL CONTEXTO DE LA NATURALEZA
Nivel V : LA MOVILIDAD DEL SABER MATEMATICO EN EL MUNDO ESCOLAR.
Grado: 10º y 11º
Objetivo General : Esquematizar la movilidad del saber matemático en lo intrapersonal e interpersonal por parte del estudiante
Logro: Comunica sus conocimientos, saberes y vivencias a través de un lenguaje estructurado a la solución de problemas en el contexto de la propuestas a nivel matemático.
La anterior propuesta de Diseño Curricular en matemáticas, permite acercar esta disciplina con la educación estética, pero sobre todo con el lenguaje que hace que las matemáticas sean una disciplina que se pueda interpretar y comunicar desde su lenguaje formal y simbólico a uno cotidiano y más coloquial, permitiendo una intersección del saber matemático con otras disciplinas y otros enfoques, generando un prisma de perspectivas didácticas y pedagógicas.
En la propuesta “El mundo de la matemática en el contexto de la naturaleza” se potencia los niveles de dominio socio-afectivo, de dominio psicomotor y de dominio cognoscitivo, por medio de sus pilares básicos: El Dibujo del paisaje, la Relatoría, la Maqueta y el Diario Pedagógico, permitiendo la observación y el análisis de estos DOMINIOS por niveles, generando subproyectos que llevan a la superación o profundización de conceptos, habilidades y/o destrezas que se evidencian en los avances de los diferentes proyectos que se generan en el aula.
Con referencia al domino socio-afectivo se pueden evidenciar el avance progresivo en los siguientes niveles:
1. Recepción: Es la aprehensión resultante de una experiencia inicial con relación a un fenómeno que le interesa a los actores (estudiante – maestro).
2. Respuesta: Es un estado interior de reacción frente a un fenómeno que nos ha impresionado consecutivamente (estudiante-maestro)
3. Valoración: Es un estado de comportamiento con algunos principios, ideas o valores que se manifiestan en la actuación con respecto a fenómenos que nos afectan permanentemente.
4. Organización: Una vez internalizado un conjunto de valores, el estudiante se ve en la necesidad de: - organizarlos en un sistema - determinar interrelaciones – jerarquizarlos.
5. Caracterización: Los valores del sujeto educable (estudiante) ya controlan su comportamiento por medio de:
- La generalización del control que permite caracterizar un individuo como persona y como sujeto educable.
- Integración de sus creencias, actitudes y valores en su cosmovisión.
El escalonamiento del estudiante en estos niveles del dominio socio-afectivo se puede materializar en el desarrollo del proyecto a través de los grados y niveles que le ofrece la escuela, cuando el se apropia de sus procesos de forma y fondo, evidenciando el cambio sustancial en sus propios códigos y en los códigos de estructuración escolar.
Se puede establecer que el principio ordenador de estos niveles es el principio de INTERNALIZACIÓN, se infiere de la forma como se modifica el comportamiento afectivo en un continuo que va de la simple atención a un fenómeno, hasta la conformación de una actitud ante la vida que caracterizará todas las acciones de una persona.
Podríamos mirar que niveles del domino psicomotor se potencian desde cada uno de los pilares (partes) y el proyecto (todo) en un proceso reversible y dialéctico, estos son:
1. Percepción: Es el primer paso en la ejecución de un acto motor. Consiste en el proceso de tomar conciencia de objetos, cualidades y relaciones a través de los órganos de los sentidos. Aquí se da situación –interpretación – acción que conduce a la acción motora como finalidad.
2. Aprestamiento: Es el agente preparatorio o disposición para realizar una acción motora. Hay tres aspectos en el aprestamiento: mental, físico y emocional.
3. Respuesta dirigida: Es un acto de comportamiento motor ejecutado bajo la orientación de su maestro. Tiene como requisito la disposición para responder tiene fundamentalmente dos categorías: la imitación y el ensayo y error.
4. Mecanización: Cuando el estudiante realiza la respuesta con seguridad y destreza. Generalmente la respuesta es compleja e implica de varias habilidades.
5. respuesta compleja observable: A este nivel el sujeto educable es capaz de realizar un acto motor complejo con alto grado de destreza. La acción es efectuada sin temores y eficientemente con gasto mínimo de tiempo.
En el desarrollo de los niveles del dominio psicomotor en el contexto de la propuesta, se da en la intersección de los diferentes pilares, permitiendo el desarrollo de habilidades y destrezas que permiten interactuar en el dibujo (paisaje), con los diferentes instrumentos de geometría, permitiéndole visualizar (percepción-aprestamiento) diferentes objetos del paisaje que los observa y relaciona con objetos matemáticos observados (figuras-sólidos) y a su vez adquiere habilidad para escribir, por medio de la descripción (procesos matemáticos) y la argumentación (ensayos y análisis de procesos). De igual manera adquiere capacidad para transformar su dibujo en un modelo tridimensional y a su vez con el desarrollo psicomotor se puede autoevaluar en su saber, en su hacer y en su saber-hacer.
Es importante establecer que el principio ordenador de este campo o dominio es el de complejidad de la secuencia de operaciones neuromotoras, involucrados en la ejecución de un acto motor.
Finalmente la propuesta permite en la interacción y relación dialéctica de su pilares y/o herramientas (dibujo – relatoría – maqueta – diario) el desarrollo y promoción del dominio Cognoscitivo determinándose los siguientes niveles.
[1] Conocimiento: Operación mental que implica el recuerdo de hechos, símbolos, conceptos, y fórmulas, leyes y teorías.
[2] Comprensión: Operación mental que revela la captación mental del material de una comunicación oral o escrita.
[3] Aplicación: Uso de abstracciones en situaciones concretas.
[4] Análisis: Descomposición de una información en sus elementos.
[5] Síntesis: Unión de elementos o partes de una o varias comunicaciones para la creación de una nueva. Pone en juego la originalidad y la capacidad creadora.
[6] Evaluación: Es la producción de juicios de valor sobre teorías, producciones, fenómenos y sobre los procesos utilizados en determinados propósitos.
En el desarrollo de la propuesta “El mundo de la Matemática en el contexto de la naturaleza” se evidencian estos niveles mostrando el desarrollo de capacidades en los estudiantes, permitiendo la potenciación de competencias interpretativas, argumentativas, propositivas, de planteamiento y solución de problemas, cuando el estudiante describe, analiza y sintetiza sus procedimientos matemáticos, en la relatoría, cuando interpreta sus procesos en el gráfico (dibujo), plantea y da solución a situaciones (Relatoría – dibujo – maqueta) permitiendo privilegiar la estructuración de los conceptos y pasando a un segundo plano los contenidos.
Es importante anotar que el principio ordenador del Dominio Cognoscitivo, es el de complejidad de la operación o secuencia de operaciones mentales involucradas en el comportamiento identificado en el objetivo.
Los comportamientos cognoscitivos pueden clasificarse jerárquicamente en lo simple a lo complejo, de lo fácil a lo difícil, de lo conocido a lo desconocido, de lo concreto a lo abstracto.
Los diferentes niveles que se han explicitado en los tres dominios se pueden concretar así:
Taxonomía simplificada de los dominios de la conducta humana.
COGNOSCITIVO
AFECTIVO
PSICOMOTOR
Evocación
Comprensión
Solución de problemas
Receptividad
Imitación
Respuesta
Control
Interiorización
Mecanización Es importante establecer que el comportamiento observable con relación a los tres dominios y el escalonamiento de los niveles de desarrollo se pueden evidenciar en la intersección y desarrollo dialéctico de todos y cada uno de los pilares básicos (Dibujo – Relatoría – Maqueta – Diario), es decir siempre están interrelacionados.
Todo lo anterior se valora utilizando una Evaluación diagnóstica que se complementa con una evaluación formativa.
La evaluación diagnóstica en el inicio y desarrollo de la propuesta “El Mundo de la matemática en el contexto de la naturaleza”, en el entendido del inicio de cada unidad temática (una por período) es un juicio inicial de lo que ocurrirá en el desarrollo de dicha unidad (hecho educativo) y lo que puede pasar después de él. También me permite, la toma de decisiones para que el hecho educativo sea más viable y válido.
En esta evaluación se tiene en cuenta:
· El análisis de las necesidades del grupo y cada equipo conformado para el desarrollo del proyecto.
· Determinación de las características de cada equipo y de cada integrante y el juego de roles en éste.
· Se puede determinar la presencia o ausencia de habilidades requeridas para emprender nuevos aprendizajes.
· Establece los niveles de dominio de conocimiento, habilidades y destrezas de los estudiantes para desarrollar diferentes alternativas pedagógicas y didácticas (secciones de la unidad temática).
· Se puede determinar los factores o causas que inciden en dificultades reiteradas de aprendizaje, llamadas también interferencias de aprendizaje.
Esta evaluación sirve para planear las actividades, seleccionar medios, adaptar contenidos, preparar materiales o establecer progresos en el aprendizaje, los cuales se evidencian, complementándose con una evaluación formativa, que viene a ser el conjunto de actividades probatorias y apreciaciones mediante los cuales, juzgamos los avances y los dificultades y cual puede ser la dirección del aprendizaje. Es importante hablar de evaluación formativa en la propuesta, cuando se tiene en cuenta el proceso; y éste se controla de forma permanente, como dice el mismo término, se refiere al juicio que se le da a un producto cuando se esta formando o desarrollando, ayuda a formular objetivos y a desarrollarlos, es decir, a llevar a cabo el diseño de los unidades temáticas. Este tipo de evaluación elimina la idea de que ella tiene un carácter finalista ya que propone de presente la necesidad de evaluar desde el momento que se inicia el hecho educativo (interacción con los pilares básicos de la propuesta) y durante todo el desarrollo (elaboración de las unidades temáticas, construcción de modelo o maqueta, autoevaluación de procesos) hasta que concluye y se revisan los resultados e impacto.
Esta evaluación en la propuesta se hace en forma permanente, elaborando un sinnúmero de sugerencias y aportes, a los cuales se les coloca la fecha de revisión, permitiendo llevarle un seguimiento o historia evaluativa de cada proyecto, permitiendo mejorar la eficiencia y la eficacia de los pilares básicos (Dibujo. Relatoría, Maqueta, Diario), permitiendo una recopilación de información, con ubicación temporo-espacial, a partir de los cuales puede hacerse una revisión fructífera de estas herramientas didácticas, para mejorar la calidad y optimizar los procesos de estructuración de conceptos en el hecho educativo. La evaluación se realiza escribiendo las fortalezas y dificultades en la construcción de la unidad temática, permitiendo hacer comentarios sobre los avances significativos de los estudiantes, resolver con ellos algunos problémas, cuando permite guiar y mejorar el proceso de aprendizaje, orientar a los estudiantes oportunamente e introducir las modificaciones que sean necesarias, tanto en lo referente a la forma del proyecto (fases de la unidad temática) como en lo que tiene que ver con el fondo (estructura de la relatoría, rigurosidad de los procesos matemáticos y conceptos) permitiendo determinar, que es necesario enfatizar, que modificaciones se deben introducir en la estructura de las herramientas didácticas y en las estrategias para hacerlas más efectivas y para mantener informad@s a l@s estudiantes, sobre su progreso y sus dificultades y permitirles tomar decisiones para aprovechar mejor las oportunidades de formación. Tomando la evaluación diagnóstica y la evaluación formativa en “El Mundo de la Matemática en el contexto de la Naturaleza” e interceptando el acopio de datos que se obtienen en una y otra se podrá mejorar el currículo, de tal manera, que responda a las necesidades del estudiante, se puede adaptar su teoría, conceptos y procesos metodológicos a las características regionales, se puede tomar muy en cuenta la experiencia del maestro, permite estrechar la relación entre la escuela y la comunidad y sobre todo ha permitido sopesar la propuesta metodológica que permita adecuar y facilitar los procesos de aprendizaje en un territorio tan demarcado como son las matemáticas.
NOTAS DE INCLUSIÓN A MANERA DE CONCLUSIÓN QUE NO PERMITEN LA EXCLUSCIÓN
Para determinar algunas conclusiones que genera y plantea la propuesta “El Mundo de la Matemática en el contexto de la Naturaleza” en la interacción en el aula, en el día a día, quiero plasmar algunas reflexiones que creo son pertinentes y a la vez complementarias en la implementación y desarrollo de cada herramienta didáctica (pilar básico) que en intersección de cada una, establece nuevas alternativas y nuevas perspectivas de valoración y validación en el aula.
Empezaré haciendo un análisis complementario al dibujo del paisaje (EL DIBUJO Y SU EMBRUJO). Es importante resaltar que los profesores de dibujo artístico no deben seguir trabajando con la idea que los estudiantes adquirirán el máximo grado de desarrollo cuando manejen la perspectiva, no se quiere decir que el dibujo técnico debe ser enseñado. Pero se requiere diferentes formas (perspectivas) ya que los estudiantes, tendrán que afrontar un mundo que se tiene que “ver” y “leer” de diferentes maneras y enfoques.
En el caso del Dibujo Técnico hay que reconocer su evolución y progreso, pero este se relativiza en el caso del arte. Lo que pasa es que el estudiante que está aprendiendo no está en cero (tabula rasa) y es necesario conocer las características de ese punto de partida, que permita suponer que el estudiante también tiene un saber y por lo tanto, la interacción maestro-estudiante, se debe entender como el diálogo de dos discursos, el encuentro de dos saberes o de dos verdades si se quiere (Carlos Federicci).
En el contexto de la propuesta, se puede apreciar que algunos rasgos del dibujo del estudiante coinciden con la geometría descriptiva, aunque no siempre pasa. Por ejemplo, la simultaneidad temporal (varios acontecimientos sucedidos en tiempos distintos, representados en un mismo momento), ni la desproporción subjetiva (el tamaño de los objetos del paisaje depende no de sus medidas reales, sino de la significación personal).
Lo anterior se puede apoyar en investigaciones hechas al respecto que se apoyan en tres aspectos: la historia del dibujo; los modelos piagetanos articulados a la reflexión psicogénesis histórica de la geometría y un tercer aspecto que en la investigación de la pintora Beatriz González se llama “La lectura de lo obvio”.
En relación con “la historia del Dibujo” las ingestaciones muestran la relación de los dibujos de los estudiantes con las formas ya elaboradas en otras épocas y por otras culturas, es claro que la ontogénesis no siempre repite la historia del ser humano, se podría establecer algunas contradicciones, cuando por ejemplo la topología es lo primero en aparecer en el niño, pero es lo último en conceptualizarse por los matemáticos.
En el caso del dibujo, según las investigaciones de Mariño (Dimensión Educativa – Bogotá) es que los códigos para representar el espacio por parte de los estudiantes son similares a los usados por los pintores del siglo XX, los cuales a su vez utilizan parámetros análogos a los usados por los pintores anteriores al siglo XV (fecha de la creación de la perspectiva).
La perspectiva se puede considerar como la fórmula para representar en una superficie (dos dimensiones) la profundidad (tercera dimensión) desde un solo punto de vista. Los asirios y egipcios, los miniaturistas medievales, y aun pintores como Giotto, la desconocieron. La perspectiva se puede considerar como una “arbitrariedad” que busca representar la tercera dimensión de manera que la escena se relacione con el espectador lo más ampliamente posible, creándose la impresión de que se encuentra ahí, en un tiempo – espacio determinado. La perspectiva que significa “vista clara” tiene su precursor más inmediato en Brunelleschi (La perspectiva implica punto de fuga).
Plantea Mariño que la posibilidad de dibujar simultáneamente un objeto desde distintos puntos de vista antitesis del sistema de representación del arte occidental que había imperado durante cinco siglos – adquiere su carta de ciudadanía en el siglo XX. En la Belle Epoque – 1900 a 1914 – se funda el cubismo clásico y llega a su apogeo con Braque y Picasso.
El cubismo, no implica una involución hacia el arte egipcio o el asirio, son análogos en la medida en que ambos se liberan de los estrechos cánones de la perspectiva. La pintura y el dibujo no necesariamente deben verse desde un mismo punto de vista, existen múltiples maneras de representar el espacio.
La perspectiva es tan sólo una de ellas, y como tal es una “objetividad mentirosa” pues “hace que el espectador vea la realidad, únicamente desde el punto de vista que el dibujante quiere.
También en el recorrido histórico del Dibujo se hace con los mapas y los planos, y se constata que existen algunos elementos análogos a los encontrados en los dibujos de los estudiantes. Lo que podría derivarse de esto es que a los hombres de diferentes épocas se les ocurre formular códigos parecidos. En los planos de ciudades (1750), uno de los aspectos que llama la atención el dibujo donde simultáneamente se presente una realidad vista desde diferentes posiciones. Existen en tales representaciones la yuxtaposición ¿o conjugación? De varias miradas. La misma concepción aparece en los mapas.
En el desarrollo de los dibujos en los adolescentes se observa la convivencia de una obvia falta de destreza manual, se observan diversos y audaces intentos por construir códigos para representar el espacio, y se puede evidenciar que la perspectiva en una sola forma de representar el espacio y el mundo.
En la elaboración y construcción del dibujo, se puede identificar los siguientes tipos de códigos:
1. Perspectiva jerárquica, 2) el color como señalizador de profundidad, 3) perspectiva escalonada, 4) dibujo simultáneo de diferentes puntos de vista 5) proyección ortogonal, 6) coexistencia y modificación de códigos.
Los códigos utilizados no sólo tienen puntos de contacto con los utilizados en períodos históricos pasados (antes del siglo XV) sino que paradójicamente, también se tocan con los principios del dibujo de ingeniería actual expresado en la geometría descriptiva en la medida de que por ejemplo, todos suministran la máxima cantidad de información sobre el objeto y no sólo lo que es posible ver, desde un sitio determinado.
· La perspectiva jerárquica consiste en determinar el tamaño de una figura no por su ubicación en el espacio, sino por su importancia. Las figuras serán grandes o pequeñas por lo que significan.
· El color como señalizador de la profundidad: Otra forma de expresar el espacio viene dada con frecuencia por el uso del color, al cual se le asigna arbitrariamente tal función.
· La perspectiva escalonada: Es otra forma de expresar la profundidad. Consiste en yuxtaponer las figuras, de manera que se genere un código que “traducido” a nuestra perspectiva, diría “lo que está al fondo debe dibujarse arriba de …”
· Profundidad igual a verticalidad: Es la perspectiva clásica, la profundidad de una calle se expresa mediante un punto de fuga que se traza con líneas oblicuas que convergen. Algunos estudiantes tratan de expresar la profundidad con líneas verticales.
· Dibujo simultáneo de diferentes puntos de vista: Se presentan las diferentes lecturas de un objeto en un mismo dibujo. De lo anterior se puede inferir que el estudiante es incapaz de representar algo desde un solo punto de vista (perspectiva clásica), en este caso se puede concluir que el estudiante está experimentando.
· Profundidad por rotación: Mediante esta regla las aceras que son además miradas y dibujadas desde arriba, giran 90º y se dibujan debajo de las fachadas.
· Proyección sobre coordenadas ortogonales: (90º). En términos generales los estudiantes representan las casas armándolas alrededor de una proyección ortogonal, quedando las casas como acostadas y sin fondo o profundidad.
· Coexistencia y modificación de los códigos: Los códigos no quedan estáticos, los códigos para representar la profundidad, van cambiando, coexistiendo además varios de ellos. En general con esta reseña de estudios hechos por Mariño (Dimensión educativa – Bogotá – sin fecha), sobre las formas comos e podría proyectar y dimensionar el dibujo (Referencia contextual) me permite plantear un continuo estudio de éste, teniendo como fondo un sistema de referencia (plano cartesiano), determinando una conjugación de lo matemático y lo estético, lo matemático y lo histórico, lo matemático y lo antropomórfico y otras conjunciones que hacen ver este pilar (el dibujo) como una herramienta didáctica en el aula pero a su vez como un objeto de estudio permanente.
A continuación le haremos un análisis a la Relatoría (Un día a día con valía). Es una herramienta que permite registrar los “Relatos” que se dan en la lectura de las teorías y conceptos de matemáticos y personajes que aportan al crecimiento del saber matemático, la lectura que se debe hacer de los aportes del maestro en el desarrollo de la unidad temática en el aula de clases, la lectura que se deben hacer de los aportes de cada uno de los pares en el proceso de desarrollo y avance de la unidad temática, la lectura que se debe hacer de los gráficos o dibujos del paisaje (Referencia contextual) en relación con el plano de cartesiano (Sistema de referencia) y los diferentes situaciones que se derivan de toda ésta, para lo cual se debe tener en cuenta la organización estructural del relato que permita una significación de éste, y a su vez puedan realizar o plantear un hilo conductor de tipo argumental que muestren las dificultades y los avances en el proceso comunicativo.
Una de las grandes dificultades de un relato es el proceso de hilación de las palabras (lo sintáctico) que a veces muestra una serie de trazos o párrafos que no permiten una coherencia y consolidación argumental.
Es importante que tanto en la lectura como escritura de un relato, generalmente los estudiantes y también los adultos, no siguen una estructura estándar de éste, sino que por el contrario tratan de leerlo o construirlo (escribirlo) de acuerdo a unas ideas previas, situaciones o intereses. Es importante citar el libro clásico Remembering Bartlett (1932) el cual considera el sentido de los relatos como un constructivo “esfuerzo es pos del sentido”. El recuerdo de experiencias y actividades implicaba un intento de reconstruir el relato a partir de un esquema, construido, junto con correcciones sugeridas por imágenes y detalles sensacionales o incongruentes.
En la perspectiva constructivista ha reaparecido en años recientes, tanto en el campo de la lingüística y de la teoría cognitiva, como el estudio de las concepciones de l@s niñ@s y jóvenes.
Dooling y Lachman (1972) plantean, igualmente que Bransfod y Jonson (1872) una comprobación formal en el sentido de que los relatos leídos o escritos que parecen carecer de sentido, si éste, no tiene un trasfondo de una cierta información, de tal forma que con esta última adquieren un sentido cabal y coherente. Si se carece de esta información la persona que lee o escribe algo que lee puede inventar situaciones de múltiples maneras.
Un segundo aspecto teórico, está relacionado con la forma de las reglas usadas para describir la estructura del relato. Por ejemplo, la hipótesis, lo que plantea es que estas reglas generan una estructuración jerárquica, que se evidencia en la sintaxis que relaciona la estructura básica de Chomsky (1965). Se podría afirmar que si tomamos la unidad temática como un relato que formula, plantea escribe, y desarrolla el estudiante y que este relato (Unidad Temática) está dividido por secciones que hacen que se pueda determinar por parte del estudiante (usuario) lo que para él es más importante y cuales no son tan importantes, ejemplo (Fundamentación teórica – procedimientos matemáticos - proposiciones - creatividad – autoevaluación – conclusiones). Lo anterior podría establecer que el estudiante considere cuatro secciones importantes (episodios) y los otros menos importantes lo cual lleva en muchos casos a la reducción del relato, de acuerdo a esta jerarquía subjetiva del estudiante. Lo anterior permite describir unos acontecimientos importantes al lado de otros menos importantes.
Se observa en el proceso del relato, que para el estudiante, ocupa más tiempo y obviamente más desarrollo en el relato lo que es significativo en su día a día, y deja en forma más superficial y adjetival lo que el considera complejo y poco significativo para el desarrollo de su proyecto, permitiendo a veces hacer redireccionamiento al relato, para evitar que lo fundamental o sustantivo pase a un segundo plano y se pierda el propósito esencial de la comunicación matemática por medio de un argumento coherente en la rigurosidad de esta disciplina. La mayor parte de estudiantes acaban descubriendo que pueden leer y escribir para entretenerse, informarse y evadirse de la realidad o simplemente para preparar una evaluación.
En el desarrollo del relato el estudiante en la acción didáctica se apropia de un componente epistemológico que permite hacer un recorrido teórico histórico y filosófico de los matemáticos o no matemáticos que le aportan a los conceptos que se abordan en la unidad, es importante tener en cuenta que este se intersecta en el relato con un componente cognitivo que debe establecer los semiótico, es decir, la concepción general y lo semántico donde se plantea lo particular del relato, es decir en la relación de lo general (semiótico) a lo particular (semántico) se deben establecer procesos hipotéticos –deductivos que permiten extrapolar las teorías planteadas en la sección de fundamentación teórica en los procedimientos matemáticos, donde el estudiante a partir del dibujo (Paisaje) visualiza los procedimientos (trazo de líneas – configuración geométrica, trazos, etc.) los describe, luego los analiza e interpreta a la luz de las teorías y conceptos que fundamentan la unidad, permitiendo al estudiante por medio del RELATO, relacionar los objetivos matemáticos observados (mundo escolar) con lo representativo y observable en el dibujo o paisaje (Representación contextual – mundo cotidiano), generándose una ampliación de la descripción, utilizando el razonamiento que permite desde la teoría hacer el análisis, interpretar con las conjeturas e hipótesis y generar un argumento con validez matemático. El desarrollo de estas acciones deductivas, determinan el desarrollo de estrategias que generan la formación del pensamiento matemático. En el desarrollo del relato en la unidad temática y luego en las demás unidades temáticas que configuran el módulo de matemáticas (producción textual), el estudiante se involucra en una actividad intelectual, que tiene una consecuencia posterior que es la disponibilidad de ese saber en un doble status: como herramienta, cuando la utiliza en la interacción entre el dibujo y su propio relato y como objeto de estudio, cuando por medio de las sugerencias y aportes que se hacen en la evaluación formativa, le permite desarrollar un estudio y una práctica investigativa sobre los avances y dificultades en el desarrollo de la Unidad Temática.
En el RELATO, el estudiante, debe construir una serie de proposiciones matemáticas que deben tener la rigurosidad del saber matemático, de tal forma que permita estructurar y construir el concepto matemático como una herramienta que interesa a los estudiantes para el desarrollo y aproximación en la resolución de problemas.
En general la relatoría en cada unidad, determina la construcción de sentido desde los procesos y saberes matemáticos, permite la producción del mundo simbólico desde la estructuración semántica y sintáctica del lenguaje, la reconstrucción del camino recorrido en la unidad temática y en las unidades temáticas permitiendo prescribir en muchos casos la simplificación conceptual con la unificación de lo diverso (Reducción)y la separación de conceptos que desde su estructura permanecen ligados (Disyunción). En el relato se pueden apreciar las nociones que se generan en procesos de lectura y escritura de teoría matemáticas, planteamiento de hipótesis desde la visualización y experimentación (Dibujo – Maqueta), procesos generadores de nociones, la construcción de proposiciones desde la sintáctica y la rigurosidad matemática, el proceso de análisis y síntesis que ayudan al estudiante a la elaboración de conclusiones generales de la unidad, estableciendo en últimas que las nociones son el corazón del saber matemático.
La maqueta (proyección de la observación): Hoy en día las matemáticas se enseñan como una asignatura de apoyo a la elaboración de estructuras e instalaciones, por lo tanto se requiere generar a partir de la geometría analítica clásica, bi y tridimensional, enfoques didácticos y pedagógicos que permitan establecer puntos o líneas de fuga, líneas en verdadera longitud, ángulos de proyección, proporciones que permitan la construcción de un modelo desde los dibujos que muestran el aplanamiento del mundo según el estudiante. Es cierto que los productos, por ejemplo en la arquitectura son elaborados por el hombre, así como también las matemáticas son obra del hombre. Pero se puede apreciar que están en dos planos distintos: La matemática generalmente trabaja con espacios y conceptos abstractos; mientras que la arquitectura y el diseño que es a la vez técnica y arte, se ocupan del espacio concreto, del espacio con relación al hombre que lo habita, a sus necesidades, a sus intereses, a sus costumbres y a su posible cultura. Entonces para que la matemática contribuya al desarrollo y proyección de lo bidimensional a lo tridimensional, no sólo se requiere desestructurar los programas en matemáticas sino, fundamentalmente cambiar el enfoque con que se la enseña para que el aprendizaje sea más significativo y con sentido pragmático, la maqueta como reflejo y proyección de un plano (Dibujo con cuadrícula), busca acercar los trazos y proyecciones geométricas en la realidad tridimensional, para lo cual, se requiere la interpretación de la proyección, la perspectiva, la jerarquización de objetos en el dibujo, la dimensión y referencia espacial, la proporción de longitud, área y volumen que se proyecten en los objetos y su relación con los objetos matemáticos.
La maqueta es un modelo que se transforma en la medida que se transforma, modifica y cambian los objetos o espacios en el dibujo con cuadrícula (paisaje), permitiendo vivenciar los cambios y transformaciones de acuerdo a las vivencias, experiencias y posibles necesidades en el desarrollo de la interacción matemática.
El Diario Pedagógico (Autoevaluación con formación): Es una herramienta pedagógica que permite conocer lo vivencial y experimental de cada estudiante. Generalmente se parte del desarrollo conceptual, procedimental y actitudinal, permitiendo conocer los niveles de apropiación en estos componentes por parte del estudiante que deben reflejar el sentido de pertenencia, de identidad y de pertinencia con relación a su proyecto.
En esta herramienta se debe plasmar los aportes, expectativas, reflexiones, de cada estudiante, partiendo de un título creativo y significativo que refleje la apropiación filosófica y conceptual de su proyecto, que se hace en lo relacionado con el SABER, con el HACER y con el SABER-HACER, con los aportes de estas herramientas didácticas, que configuran una propuesta metodológica para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, se podrá a partir del trabajo practico, permitir el cambio conceptual, buscar con la didáctica como saber el mejoramiento de la compresión a nivel conceptual y finalmente acercar la teoría a la práctica por medio de la resolución de problemas, generando prácticas de investigación.
BIBLIOGRAFÍA
ADURIZ B., Agustín y otros. Actualización en Didáctica de las Ciencias Naturales y las Matemáticas. Bogotá: Didácticas, Magisterio, 2002.
BRUER, John T. Escuelas para pensar, una ciencia del aprendizaje en el aula. Buenos Aires: Paidós, Ministerio de Educación y Ciencia.
CANTORAL, Ricardo y otros. Desarrollo del pensamiento matemático. Editorial Trillas, primera edición, mayo 3002.
CARRETERO, Mario. Constructivismo y Educación. Buenos Aires: Aique, primera edición.
CARRETERO, Mario y otros. Construir y enseñar las ciencias experimentales. Buenos Aires: Aique Didáctica , tercera edición.
DAYURA, Lucía. La matemática y su didáctica en el primero y segundo ciclo de la E.G.B., Un enfoque constructivista. Buenos Aires.
DE ZUBIRÍA, Miguel y DE ZUBIRIA, Julián. Biografía del pensamiento. Estrategia para el desarrollo del pensamiento. Santafé de Bogotá: Mesa Redonda, Magisterio
Educación Matemática. Volumen 6: números 2, 3. México: Grupo Editorial Iberoaméricano, 1994.
GALLEGO BADILLO, Rómulo. Discurso sobre el Constructivismo. Santafé de Bogotá: Mesa Redonda Magisterio, segunda edición.
JARAMILLO, Juan Manuel, DUQUE, Luz Marina y otros. Thomas Kuhn. Santiago de Cali: Editorial Universidad del Valle, 1997.
KAPLAN, Carina Viviana. La inteligencia escolarizada. Buenos Aires: Miño y Dávila Editores, primera edición, 1997.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL, Lineamientos curriculares de matemáticas. Santafé de Bogotá: Editorial Magisterio, 1998.
MORENO, María del Carmen. Innovaciones Pedagógicas. Santafé de Bogotá: Mesa Redonda, Magisterio.
OROBIO OCORÓ, Héctor; ORTIZ LEGARDA, Marina. Educación matemática y desarrollo del sujeto. Una experiencia de investigación en el aula. Mesa Redonda Magisterio, primera edición.
PAROL, Jean Jacques. Actualización Matemática. Didáctica de las matemáticas en los primeros niveles. Barcelona: Editorial Teide, primera edición, 1974.
PÉREZ, Royman y GALLEGO BADILLO, Rómulo. Corrientes constructivistas. De los mapas conceptuales a la teoría de la transformación intelectual. Santafé de Bogotá: Mesa Redonda, Magisterio, 1995.
PIAGET, Jean. La Toma de Conciencia. Madrid: Ediciones Morata, 1976.
POLYA, G. Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas. Vigésimo sexta edición, Junio 2002.
PORLÁN, Rafael; GARCÍA, J. Eduardo y otro. Constructivismo y Ensañanza de las Ciencias. Serie Fundamentos Nº 2. Colección Investigación y Enseñanza, tercera edición, 1997.
Revista EMA. Investigación e Innovación en Educación Matemática. Universidad de los Andes: Editor Felipe Sánchez. Una Empresa docente, volumen Nº 8, julio 2003.
RINCÓN, Luis Hernando. Los Maestros del Valle del Cauca Investigan. Para empezar… Convenio Gobernación del Valle y Universidad Santiago de Cali. Imprenta Departamental.
SARRIA MATERÓN, Martha Lucía. Los Maestros del Valle del Cauca Investigan. La práctica: un punto de partida. Imprenta Departamental del Valle del Cauca.
SARRIA MATERÓN, Martha Lucía. Los maestros del Valle del Cauca Investigan. Sistematización de la Experiencia. Convenio: Gobernación del Valle – Universidad Santiago de Cali. Imprenta Departamental.
TÉLLEZ IREGUI, Gustavo. Pierre Bourdieu: Conceptos Básicos y Constreucción Socioeducativa. Bogotá: Editorial Universidad Pedagógica Nacional. Primera Edición, 2002.
TORRES, Jurjo. El currículum oculto. Madrid: Editorial Morata. Sexta Edición, 1998.
UGOCHUKWU UKO, Livinus. Matemáticas Amenas. Editorial Universidad de Antioquia, primera edición, junio 2000.
VEGA, Mirian; SALAS, Ricardo. Psicología cognitiva y Educación Matemática. Santiago de Cali. Editorial Universidad del Valle, 1998.
ZAMBRANO LEAL, Armando. Pedagogía, educabilidad y formación de docentes. Santiago de Cali: Nueva Biblioteca Pedagógica, segunda edición, 2002.
[1] Bourdieu (1982-99-100)
[2] Citado por Giordan, A y Vecchi (1988)
[3] Lakatos. El método de análisis – síntesis en “matemática, ciencia y epistemología”. Vol. 2. 1981. Alianza Edit. Madrid.
